Bài 8: cho hàm số f(x) = (x ^ 2 + x - 6)/(x - 2); 2x + 1 khi x=2 khi x=2 Xét tính liên tục của hàm số tại x = 2
xét tính liên tục của hàm số sau tại x = 2
\(f\left(x\right)=\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{2x^2-7x+6}{2-x}\\2x-5\end{matrix}\right.\) khi \(x\ne2\); khi \(x=2\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow2}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow2}\dfrac{2x^2-7x+6}{2-x}\)
\(=\lim\limits_{x\rightarrow2}\dfrac{2x^2-4x-3x+6}{-\left(x-2\right)}\)
\(=\lim\limits_{x\rightarrow2}\dfrac{\left(x-2\right)\left(3-2x\right)}{x-2}=\lim\limits_{x\rightarrow2}3-2x=3-2\cdot2=3-4=-1\)
\(f\left(2\right)=2\cdot2-5=-1\)
=>\(\lim\limits_{x\rightarrow2}f\left(x\right)=f\left(2\right)\)
=>Hàm số liên tục tại x=2
\(f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2-6x+8}{\sqrt{3x+2}-2} \ khi \ x < 2 \\ \dfrac{x+8}{x-1} \ khi \ x \geq 2 \\\end{cases}
tại x_0 =2.\) Xét tính liên tục của hàm số:
\(\lim\limits_{x->2^-}=\dfrac{2^2-6\cdot2+8}{\sqrt{3\cdot2+2}-2}=0\)
\(\lim\limits_{x->2^+}=\dfrac{2+8}{2-1}=10< >0\)
=>f(x) không liên tục tại x=2
xét tính liên tục của hàm số sau tại x = 1
\(f\left(x\right)=\left\{{}\begin{matrix}x^2+3x+1\\2x+2\end{matrix}\right.\) khi \(x\ge1\); khi \(x< 1\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow1^+}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow1^+}x^2+3x+1=1+3\cdot1+1=5\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow1^-}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow1^-}2x+2=2\cdot1+2=4\)
f(1)=1+3+1=5
=>\(\lim\limits_{x\rightarrow1^+}f\left(x\right)=f\left(1\right)\ne\lim\limits_{x\rightarrow1^-}f\left(x\right)\)
=>Hàm số bị gián đoạn tại x=1
xét tính liên tục của hàm số sau tại x = 2
\(f\left(x\right)=\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{2-\sqrt{2x^2-4}}{2-x}\\1\end{matrix}\right.\) khi \(x\ne2\); khi \(x=2\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow2}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow2}\dfrac{2-\sqrt{2x^2-4}}{2-x}\)
\(=\lim\limits_{x\rightarrow2}\dfrac{4-2x^2+4}{2+\sqrt{2x^2-4}}\cdot\dfrac{1}{2-x}\)
\(=\lim\limits_{x\rightarrow2}\dfrac{-2\left(x^2-4\right)}{-\left(x-2\right)\left(2+\sqrt{2x^2-4}\right)}\)
\(=\lim\limits_{x\rightarrow2}\dfrac{2\left(x-2\right)\left(x+2\right)}{\left(x-2\right)\left(2+\sqrt{2x^2-4}\right)}\)
\(=\lim\limits_{x\rightarrow2}\dfrac{2\left(x+2\right)}{2+\sqrt{2x^2-4}}=\dfrac{2\left(2+2\right)}{2+\sqrt{2\cdot2^2-4}}\)
\(=\dfrac{2\cdot4}{2+2}=\dfrac{8}{4}=2\)
\(f\left(2\right)=1\)
=>\(\lim\limits_{x\rightarrow2}f\left(x\right)< >f\left(2\right)\)
=>Hàm số bị gián đoạn tại x=2
xét tính liên tục của hàm số sau tại x = -2
\(f\left(x\right)=\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{2x^2-x-10}{x+2}\\a+x\end{matrix}\right.\) khi \(x\ne-2\); khi \(x=-2\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow-2}f\left(x\right)=\dfrac{2x^2-x-10}{x+2}\)
\(=\lim\limits_{x\rightarrow-2}\dfrac{2x^2+4x-5x-10}{x+2}\)
\(=\lim\limits_{x\rightarrow-2}\dfrac{\left(x+2\right)\left(2x-5\right)}{x+2}\)
\(=\lim\limits_{x\rightarrow-2}2x-5=2\cdot\left(-2\right)-5=-9\)
\(f\left(-2\right)=a-2\)
hàm số liên tục tại x=-2 khi a-2=-9
=>a=-7
Hàm số không liên tục tại x=-2 thì \(a-2\ne-9\)
=>\(a\ne-7\)
Xét tính liên tục của các hàm số sau trên TXĐ của chúng
f(x)= {x2-3x +4 khi x<2
{ 5 khi x=2
{2x +1 khi x>2
`TXĐ: R`
`@` Nếu `x > 2` thì: `f(x)=2x+1`
H/s xác định trên `(2;+oo)`
`=>` H/s liên tục trên `(2;+oo)`
`@` Nếu `x < 2` thì: `f(x)=x^2-3x+4`
H/s xác định trên `(-oo;2)`
`=>` H/s liên tục trên `(-oo;2)`
`@` Nếu `x=2` thì: `f(x)=5`
`lim_{x->2^[-]} (x^2-3x+4)=2`
`lim_{x->2^[+]} (2x+1)=5`
Vì `lim_{x->2^[-]} f(x) ne lim_{x->2^[+]} f(x) =>\cancel{exists} lim_{x->2} f(x)`
`=>` H/s gián đoạn tại `x=2`
KL: H/s liên tục trên `(-oo;2)` và `(2;+oo)`
H/s gián đoạn tại `x=2`
Cho hàm số f ( x ) = 2 x 2 + 3 x - 2 x + 2 k h i x ≠ - 2 m 2 + m x - 8 k h i x = - 2
Tính tổng các giá trị tìm được của tham số m để hàm số liên tục tại x=-2
A.2
B.4
C.1
D.5
Bài 1: Xét tính đơn điệu của hàm số \(y=f(x)\) khi biết đạo hàm của hàm số là:
a) \(f'(x)=(x+1)(1-x^2)(2x-1)^3\)
b) \(f'(x)=(x+2)(x-3)^2(x-4)^3\)
Bài 2: Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm \(f'(x)=x(x+1)(x-2)\). Xét tính biến thiên của hàm số:
a) \(y=f(2-3x)\)
b) \(y=f(x^2+1)\)
c) \(y=f(3x+1)\)
xét tính liên tục của hàm số sau tại x = 1
\(f\left(x\right)=\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{2x^2-5x+3}{x-1}\\4\end{matrix}\right.\) khi \(x\ne1\); khi \(x=1\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow1}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{2x^2-5x+3}{x-1}\)
\(=\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{\left(x-1\right)\left(2x-3\right)}{x-1}=\lim\limits_{x\rightarrow1}2x-3=2\cdot1-3=-1\)
f(1)=4
=>\(\lim\limits_{x\rightarrow1}f\left(x\right)< >f\left(1\right)\)
=>Hàm số bị gián đoạn tại x=1